Fermat-Vermutung

Es gibt Zahlentripel wie 3, 4 und 5. Für sie gilt: 3 mal 3 plus 4 mal 4 ergibt genau 5 mal 5, also 9 plus 16 gleich 25. Solche Tripel kennt man aus dem Mathematikunterricht, und es gibt unendlich viele davon. Der französische Jurist und Freizeitmathematiker Pierre de Fermat stellte um 1637 die Frage, ob das auch mit dritten, vierten oder höheren Potenzen funktioniert. Also: Gibt es positive ganze Zahlen, bei denen a mal a mal a plus b mal b mal b genau c mal c mal c ergibt? Fermat behauptete, dass es ab der dritten Potenz keine einzige solche Lösung gibt, und notierte am Rand eines Buches, er habe einen Beweis, für den dort kein Platz sei. Dieser Beweis wurde nie gefunden.

Ein Randnotiz-Rätsel über 350 Jahre

Die Behauptung ist leicht zu verstehen, aber extrem schwer zu beweisen. Genau diese Mischung machte sie berühmt. Man kann sie einem Schüler in zwei Minuten erklären, doch Generationen von Profis scheiterten daran. Über Jahrhunderte galt sie als das bekannteste offene Problem der Mathematik.

Ein häufiger Irrtum ist, dass man so etwas per Computer prüfen könnte. Man hat tatsächlich sehr viele Fälle durchgerechnet, ohne Gegenbeispiel zu finden. Das beweist aber nichts. Die Zahlen sind unendlich, und ein Computer kommt nie an ihr Ende. Ein Beweis muss alle Fälle gleichzeitig erledigen, nicht Milliarden einzelne.

Der Nebeneffekt war wichtiger als das Ergebnis selbst. Auf der Suche nach einem Beweis entstanden ganze Teilgebiete der Mathematik. Viele Werkzeuge, die heute in der Verschlüsselung von Nachrichten stecken, stammen aus dieser Forschungstradition. Ein scheinbar nutzloses Rätsel hat also praktische Technik hervorgebracht.

Der Umweg über elliptische Kurven

Der Beweis kam 1994 vom britischen Mathematiker Andrew Wiles. Er griff das Problem nicht direkt an. Stattdessen nutzte er eine Übersetzung in ein völlig anderes Gebiet. Fachleute hatten vorher gezeigt: Wenn eine Lösung der Fermat-Gleichung existierte, müsste daraus ein sehr merkwürdiges geometrisches Objekt entstehen.

Diese Objekte heißen elliptische Kurven. Das sind Kurven, die man durch bestimmte Gleichungen beschreibt und deren Punkte man auf besondere Weise addieren kann. Eine damals unbewiesene Vermutung besagte, dass alle solchen Kurven zu einer bestimmten geordneten Familie gehören. Die Kurve aus einer Fermat-Lösung könnte aber unmöglich dazugehören. Wiles bewies genug von dieser Vermutung, um daraus einen Widerspruch zu erzeugen. Also kann es keine Lösung geben.

Der Weg dorthin war holprig. Wiles arbeitete sieben Jahre weitgehend im Geheimen. Bei der Prüfung seines ersten Manuskripts fand ein Gutachter 1993 eine Lücke. Erst nach einem Jahr weiterer Arbeit, teils mit seinem früheren Studenten Richard Taylor, war der Beweis vollständig. Er umfasst über hundert Seiten und ist ohne jahrelanges Studium nicht lesbar.

Warum KI-Forscher den Satz zitieren

In Technik-Nachrichten taucht die Fermat-Vermutung heute meist als Maßstab auf. Wenn ein Unternehmen behauptet, seine Software könne mathematisch beweisen, dann wird gern gefragt, wie weit sie von einem Problem dieser Größe entfernt ist. Der Beweis von Wiles gilt als Beispiel für Kreativität, die weit über schnelles Rechnen hinausgeht.

Konkret geht es dabei um Beweisassistenten. Das sind Programme, die jeden Schritt eines mathematischen Arguments auf Lückenlosigkeit prüfen. Eine internationale Gruppe arbeitet seit 2024 daran, den Fermat-Beweis vollständig in so ein System einzutragen. Das Projekt ist auf mehrere Jahre angelegt. Sprachmodelle, wie sie hinter Chatbots stecken, werden dabei als Hilfsmittel getestet, nicht als Ersatz für die Fachleute.

Außerdem begegnet man dem Satz in der Popkultur. Er kommt in Romanen, in Folgen der Simpsons und in Sachbüchern vor. Wer den Namen Fermat hört, sollte den kleinen Fermatschen Satz nicht verwechseln: Der ist ein anderes, viel einfacheres Ergebnis und wird tatsächlich in der Kryptographie direkt eingesetzt.