Riemann-Hypothese
Die Riemann-Hypothese ist eine seit 1859 unbewiesene Vermutung über die Verteilung der Primzahlen. Sie gilt als das berühmteste offene Problem der Mathematik und ist mit einem Preisgeld von einer Million Dollar verbunden.
Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Sie tauchen in der Reihe der Zahlen ziemlich unregelmäßig auf. Manchmal liegen zwei dicht beieinander, manchmal klafft eine große Lücke. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann stellte 1859 eine Vermutung darüber auf, wie regelmäßig diese Verteilung im Kern doch ist. Seine Aussage betrifft eine Rechenvorschrift, die er untersuchte, und die Stellen, an denen diese Vorschrift den Wert Null ergibt. Riemann behauptete, dass alle interessanten dieser Nullstellen genau auf einer einzigen Linie liegen. Bis heute hat niemand das bewiesen und niemand hat ein Gegenbeispiel gefunden.
Eine Million Dollar für einen Beweis
Die Riemann-Hypothese steht auf der Liste der sieben Millennium-Probleme. Diese Liste veröffentlichte das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000. Für jedes gelöste Problem gibt es eine Million US-Dollar. Bisher wurde nur eines davon geknackt, und zwar nicht dieses.
Das Geld ist aber nicht der eigentliche Grund für die Berühmtheit. Viele hundert mathematische Sätze wurden bereits unter der Annahme bewiesen, dass die Hypothese stimmt. Man nennt solche Ergebnisse bedingt. Wäre die Hypothese eines Tages widerlegt, würde ein großer Teil dieses Gebäudes einstürzen. Umgekehrt würde ein Beweis all diese Sätze auf einen Schlag absichern.
Ein häufiger Irrtum lautet, ein Beweis würde sofort die Verschlüsselung im Internet knacken. Das ist falsch. Verfahren wie RSA beruhen darauf, dass das Zerlegen großer Zahlen in Primfaktoren extrem lange dauert. Die Riemann-Hypothese sagt etwas über die Verteilung der Primzahlen, nicht darüber, wie man sie schnell findet. Sie liefert kein Rezept zum Knacken von Codes.
Nullstellen auf der kritischen Linie
Im Zentrum steht die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine Funktion ist einfach eine Rechenvorschrift: man gibt eine Zahl hinein und bekommt eine Zahl heraus. Diese besondere Funktion entsteht, indem man unendlich viele Bruchteile addiert. Riemann erweiterte sie auf sogenannte komplexe Zahlen. Das sind Zahlen mit zwei Komponenten, die man wie Punkte auf einer Ebene darstellen kann.
Interessant sind die Nullstellen, also die Eingaben, bei denen als Ergebnis genau Null herauskommt. Einige davon sind langweilig und leicht zu bestimmen. Die übrigen liegen alle in einem senkrechten Streifen dieser Zahlenebene. Riemanns Vermutung besagt, dass sie sich sogar auf einer einzigen Linie mitten in diesem Streifen drängen. Diese Linie heißt kritische Linie.
Der Zusammenhang zu Primzahlen ist verblüffend eng. Man kann sich die Nullstellen wie die Grundtöne eines Instruments vorstellen. Zusammengesetzt ergeben sie das unregelmäßige Muster der Primzahlen. Liegen alle Töne brav auf einer Linie, dann schwankt die Anzahl der Primzahlen nur wenig um einen glatten Durchschnittswert. Läge eine Nullstelle daneben, gäbe es eine unerwartet große Unregelmäßigkeit. Computer haben bereits mehr als zehn Billionen Nullstellen geprüft, alle lagen auf der Linie. Ein Beweis ist das nicht, denn es gibt unendlich viele.
Warum KI-Forscher darüber reden
In Technik-Nachrichten taucht die Riemann-Hypothese seit einigen Jahren als Maßstab auf. Wenn Firmen ihre neuen KI-Systeme vorstellen, nennen sie gern ungelöste Mathematik-Probleme als Fernziel. Ein Sprachmodell, das eigenständig einen solchen Beweis findet, gilt als Beleg für echtes mathematisches Denken. Bisher ist das nicht geschehen. Kritiker halten das Beispiel für Marketing, weil selbst Fachleute an dem Problem seit über 160 Jahren scheitern.
Realistischer ist die Rolle von Software als Werkzeug. Beweisassistenten wie Lean prüfen mathematische Argumente Schritt für Schritt auf Fehler. Große Rechenprogramme berechnen Nullstellen mit hoher Genauigkeit. KI-Systeme werden inzwischen darauf trainiert, Beweisschritte vorzuschlagen, die ein Mensch dann kontrolliert. Für kleinere Sätze funktioniert das bereits.
Außerhalb der Forschung begegnet man dem Begriff in Filmen, Romanen und Rätselwettbewerben. Regelmäßig kursieren angebliche Beweise im Internet. Fast alle stammen von Laien und enthalten Fehler. Auch renommierte Mathematiker haben es versucht und sind gescheitert. Genau das macht die Hypothese zu einem festen Bezugspunkt, wenn irgendwo behauptet wird, eine Maschine denke jetzt wie ein Mensch.