Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung

In der Mathematik gibt es Gleichungen, bei denen man nur Lösungen mit ganzen Zahlen oder Bruchzahlen sucht. Eine besonders wichtige Familie solcher Gleichungen hat die Form y² = x³ + ax + b, wobei a und b feste Zahlen sind. Solche Kurven nennt man elliptische Kurven. Bei manchen von ihnen findet man unendlich viele Lösungen aus Bruchzahlen, bei anderen nur ganz wenige oder keine. Die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung sagt, wie man das im Voraus erkennen kann, ohne alle Lösungen zu suchen. Sie wurde in den 1960er-Jahren von den britischen Mathematikern Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer aufgestellt und ist bis heute nicht bewiesen.

Ein Millennium-Problem mit einer Million Dollar Preisgeld

Das Clay Mathematics Institute in den USA hat im Jahr 2000 sieben besonders schwere offene Probleme zu den sogenannten Millennium-Problemen erklärt. Für jede Lösung sind eine Million US-Dollar ausgeschrieben. Die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung ist eines davon. Bisher wurde nur ein einziges dieser sieben Probleme gelöst.

Der Grund für diesen Status liegt nicht im Preisgeld, sondern in der Rolle der Vermutung. Sie verbindet zwei Bereiche der Mathematik, die auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun haben. Der eine Bereich zählt Lösungen von Gleichungen. Der andere untersucht Funktionen, die man aus unendlich langen Summen aufbaut. Solche Brücken gelten in der Mathematik als besonders wertvoll, weil man Werkzeuge von einer Seite auf die andere übertragen kann.

Elliptische Kurven sind zudem keine reine Spielerei. Sie stecken in der Verschlüsselung, die Messenger, Bankkarten und Webseiten schützt. Und sie waren das zentrale Werkzeug im Beweis des Großen Fermatschen Satzes durch Andrew Wiles im Jahr 1994. Wer elliptische Kurven besser versteht, versteht auch diese Anwendungen besser.

Was die L-Funktion über die Lösungen verrät

Zu jeder elliptischen Kurve kann man eine sogenannte L-Funktion bilden. Das ist eine Rechenvorschrift, die aus vielen Einzelinformationen über die Kurve zusammengesetzt wird. Für jede Primzahl zählt man, wie viele Lösungen die Kurve modulo dieser Primzahl hat. Modulo heißt hier: man rechnet nur mit Resten, so wie bei einer Uhr, auf der nach der 12 wieder die 1 kommt. Alle diese Zählungen werden zu einer einzigen Funktion verrechnet.

Die Vermutung betrachtet nun genau eine Stelle dieser Funktion, nämlich den Punkt s = 1. Ist der Funktionswert dort nicht null, dann hat die Kurve nur endlich viele Lösungen in Bruchzahlen. Ist er null, gibt es unendlich viele. Genauer: die Art, wie stark die Funktion an dieser Stelle null wird, soll die Zahl der unabhängigen Grundlösungen angeben. Diese Zahl heißt Rang der Kurve.

Man kann sich die L-Funktion als eine Art Fieberkurve vorstellen, die aus tausenden kleinen Messungen entsteht. Die Vermutung behauptet, dass ein einziger Messwert daraus die Struktur der ganzen Kurve verrät. Bewiesen ist das nur in Spezialfällen, etwa für Kurven mit Rang null oder eins. Für höhere Ränge fehlt bis heute jeder Zugang. Computer haben die Vermutung in Millionen Einzelfällen bestätigt, aber das ist kein Beweis.

Von der Kryptografie bis zu KI-Beweisassistenten

Direkt im Alltag begegnet man der Vermutung nicht. Ihre Umgebung aber schon: elliptische Kurven sichern per ECDSA und Ähnlichem einen großen Teil des Internetverkehrs. In Nachrichten taucht die Vermutung meist auf, wenn über die Millennium-Probleme berichtet wird oder wenn ein bekannter Mathematiker einen angeblichen Beweis vorlegt. Solche Ankündigungen halten der Prüfung bisher nie stand.

Zunehmend erscheint der Begriff auch in Berichten über künstliche Intelligenz. Firmen wie Google DeepMind und OpenAI testen ihre Systeme gern an schweren mathematischen Aufgaben. Beweisassistenten wie Lean prüfen dabei jeden Schritt formal auf Korrektheit. Große offene Vermutungen dienen in dieser Szene als Fernziel, an dem man Fortschritt messen will.

Ein häufiger Irrtum ist, die Vermutung sei nur eine technische Fußnote für Spezialisten. Tatsächlich hängt an ihr ein ganzes Programm: die Frage, wie sich Lösungszahlen von Gleichungen allgemein aus analytischen Funktionen ablesen lassen. Ein Beweis würde diesem Programm eine gesicherte Grundlage geben. Bis dahin bleibt die Vermutung genau das: eine sehr gut begründete, aber unbewiesene Behauptung.