Von-Neumann-Algebra
Eine Von-Neumann-Algebra ist eine bestimmte Sammlung von Rechenoperationen, die man auf unendlich viele Zahlen gleichzeitig anwenden kann. Sie ist das mathematische Grundgerüst, mit dem Physiker die Quantenmechanik beschreiben, und taucht heute in der Theorie des Quantencomputings auf.
In der Mathematik gibt es Objekte, die man addieren und multiplizieren kann: Zahlen zum Beispiel. Es gibt aber auch Rechenvorschriften, die selbst wie Objekte behandelt werden. Eine solche Vorschrift nimmt etwas als Eingabe und gibt etwas anderes zurück, etwa « drehe diesen Pfeil um 90 Grad ». Zwei solche Vorschriften kann man hintereinander ausführen, und das Ergebnis ist wieder eine Vorschrift. Eine Von-Neumann-Algebra ist eine Sammlung solcher Rechenvorschriften, die in sich abgeschlossen ist: Kombiniert man zwei Mitglieder der Sammlung, bleibt man in der Sammlung. Zusätzlich verlangt man, dass die Sammlung auch unter Grenzübergängen stabil bleibt, also wenn man unendlich viele Schritte aneinanderreiht. Benannt ist sie nach John von Neumann, der sie in den 1930er Jahren mit Francis Murray untersuchte.
Das Fundament der Quantenmechanik
Von Neumann entwickelte diese Theorie nicht aus reiner Neugier. Die Quantenmechanik war um 1930 physikalisch erfolgreich, aber mathematisch unordentlich. Physiker rechneten mit Größen, deren Reihenfolge plötzlich eine Rolle spielte. Ort und Impuls eines Teilchens nacheinander zu messen, ergibt etwas anderes als in umgekehrter Reihenfolge. Von Neumann fand die passende Sprache dafür: Messgrößen sind Rechenvorschriften, und ihre Multiplikation ist nicht vertauschbar.
Aus dieser Sprache wurde ein eigenes Forschungsgebiet. Von Neumann und Murray sortierten die Algebren in Typen, genannt Typ I, II und III. Typ I entspricht dem, was man in einfachen Quantensystemen mit wenigen Teilchen antrifft. Typ III wirkte lange wie ein mathematisches Kuriosum, beschreibt heute aber Quantenfeldtheorien und sogar Bereiche der Raumzeit in Arbeiten zur Gravitation.
Ein Nebenprodukt ist besonders bemerkenswert. In Typ-II-Algebren gibt es sinnvolle Dimensionen, die keine ganzen Zahlen sind. Man kann dort also von einem Raum der Dimension 1,5 sprechen. Das klingt nach einem Rechenfehler, ist aber widerspruchsfrei und einer der Gründe, warum das Gebiet Mathematiker fasziniert.
Abgeschlossen unter Grenzwerten
Der Ausgangspunkt ist ein Raum mit unendlich vielen Richtungen, ein sogenannter Hilbertraum. Man kann sich das als Koordinatensystem vorstellen, das nicht drei, sondern unendlich viele Achsen hat. Die Rechenvorschriften auf diesem Raum heißen Operatoren. Sie streckenden, drehen und mischen die Richtungen.
Eine Von-Neumann-Algebra ist nun eine Menge solcher Operatoren mit drei Eigenschaften. Erstens: Summen und Produkte ihrer Mitglieder gehören wieder dazu. Zweitens: Zu jedem Operator gehört auch sein Spiegelbild, der adjungierte Operator. Drittens: Wenn eine Folge von Mitgliedern sich einem Grenzwert annähert, liegt dieser Grenzwert ebenfalls in der Menge. Diese dritte Bedingung unterscheidet sie von der verwandten C*-Algebra, bei der ein schwächerer Grenzwertbegriff genügt.
Es gibt eine elegante Kurzform dieser Definition. Von Neumann zeigte, dass eine solche Algebra genau aus den Operatoren besteht, die mit allen Operatoren einer bestimmten anderen Menge vertauschbar sind. Diese Aussage heißt Bikommutantensatz. Sie erlaubt es, ein sehr abstraktes Objekt allein durch Vertauschbarkeit zu beschreiben.
Von der Physik zum Quantencomputer
Im Alltag begegnet man dem Begriff nicht. Er taucht auf, wenn Grundlagenforschung in die Nachrichten kommt. Wer Meldungen über Quantencomputer liest, stößt auf Begriffe wie Verschränkung oder Quantenkanal. Deren präzise Definitionen stammen aus der Theorie der Operatoralgebren.
Konkret nützlich ist das bei der Frage, wie viel Information ein Quantensystem enthält. Ein wichtiges Maß dafür ist die relative Entropie, und deren mathematisch saubere Fassung für unendliche Systeme lebt in Von-Neumann-Algebren. Firmen und Institute, die an Quantenfehlerkorrektur arbeiten, greifen auf dieses Gerüst zurück. Auch in der Erforschung sogenannter topologischer Qubits spielen verwandte Algebren eine Rolle.
Ein häufiger Irrtum ist, den Namen mit der Von-Neumann-Architektur zu verwechseln. Diese Architektur ist der Bauplan gewöhnlicher Computer, bei dem Programm und Daten im gleichen Speicher liegen. Beides geht auf dieselbe Person zurück, hat inhaltlich aber nichts miteinander zu tun. Wer in einem Text über Chips auf « von Neumann » stößt, liest fast immer über die Architektur, nicht über die Algebra.