Kugelpackungsdichte

Wenn man Orangen in eine Kiste legt, bleibt zwischen ihnen immer Luft. Die Kugelpackungsdichte ist die Zahl, die diesen Effekt beschreibt. Sie sagt, welcher Anteil des Kistenvolumens tatsächlich von den Orangen ausgefüllt ist. Bei der geschicktesten Anordnung gleich großer Kugeln sind es rund 74 Prozent, also etwa drei Viertel. Ein Viertel bleibt Zwischenraum, ganz egal wie sorgfältig man stapelt. Schüttet man die Kugeln dagegen nur lose in die Kiste, kommt man auf etwa 64 Prozent.

Warum 74 Prozent eine harte Grenze sind

Die Zahl ist keine Schätzung aus Experimenten, sondern eine bewiesene Obergrenze. Johannes Kepler vermutete schon 1611, dass es keine bessere Anordnung gibt als die vom Obsthändler. Ein vollständiger Beweis gelang erst Ende der 1990er Jahre, und zwar mit massiver Computerhilfe. Der Mathematiker Thomas Hales musste dafür tausende Einzelfälle durchrechnen lassen. Die Kepler-Vermutung gilt heute als bestätigt.

Interessant ist der Beweis auch aus einem anderen Grund. Er war einer der ersten großen mathematischen Sätze, bei dem Fachleute die Rechnungen nicht mehr von Hand nachprüfen konnten. Deshalb wurde später ein Programm geschrieben, das jeden Beweisschritt formal kontrolliert. Solche Prüfprogramme sind inzwischen ein eigenes Forschungsfeld und spielen auch beim Testen von KI-Systemen eine Rolle.

Ein häufiger Irrtum: Die 74 Prozent gelten nur für Kugeln gleicher Größe. Mischt man kleine und große Kugeln, kann man die Lücken teilweise füllen und höhere Werte erreichen. Genau das nutzt die Betonherstellung mit Sand, Kies und Zement.

Wie man Kugeln optimal stapelt

Die beste Anordnung beginnt mit einer flachen Schicht. Dort liegt jede Kugel an sechs Nachbarn, wie Sechsecke auf einer Fliesenfläche. Die nächste Schicht legt man nicht direkt darüber, sondern in die Mulden der ersten. So sitzt jede Kugel tiefer, und die Packung wird dichter. Wiederholt man das, berührt jede Kugel im Inneren genau zwölf andere.

Überraschend ist, dass es dafür mehrere gleich gute Lösungen gibt. Ab der dritten Schicht kann man zwischen zwei Positionen wählen, ohne die Dichte zu verändern. Daraus entstehen unendlich viele Anordnungen mit exakt demselben Wert. Zwei davon haben eigene Namen und tauchen in der Chemie als Kristallstrukturen von Metallen wie Kupfer oder Magnesium auf.

In anderen Dimensionen ist die Frage viel schwieriger. In der Ebene ordnet man Kreise am dichtesten im Sechseckmuster, das ergibt rund 91 Prozent. Für vier oder fünf Dimensionen ist die optimale Packung bis heute unbekannt. Für acht und für vierundzwanzig Dimensionen wurde sie erst 2016 bewiesen.

Von Kristallen bis zu Fehlerkorrektur in Daten

In der Physik erklärt die Packungsdichte, warum Metalle so schwer sind. Ihre Atome ordnen sich oft in einer dichtesten Kugelpackung an. Auch beim Verdichten von Pulvern in der Industrie rechnet man mit diesen Werten, etwa bei Tabletten oder Keramik. Wer Kies für eine Baustelle bestellt, kauft ebenfalls Volumen mit Luft dazwischen.

Weniger offensichtlich ist die Verbindung zur Informatik. Digitale Nachrichten werden gegen Übertragungsfehler geschützt, indem man erlaubte Codewörter weit voneinander entfernt platziert. Jedes Codewort bekommt eine Kugel aus ähnlichen, noch korrigierbaren Signalen. Diese Kugeln sollen möglichst dicht liegen, ohne sich zu überlappen. Es ist mathematisch dasselbe Problem, nur in sehr vielen Dimensionen.

Deshalb erscheinen Kugelpackungen in News manchmal zusammen mit Mobilfunk, Satellitenübertragung oder Datenspeichern. Auch bei der Vektorsuche in KI-Systemen geht es um dicht gepackte Punkte in hochdimensionalen Räumen. Dort werden Texte als lange Zahlenlisten dargestellt, und ähnliche Inhalte liegen nahe beieinander. Die Geometrie dahinter ist verwandt mit der Frage aus der Obstkiste.