Fermats letzter Satz

Fermats letzter Satz ist eine Aussage über ganze Zahlen, also über Zahlen ohne Komma wie 3, 17 oder 480. Aus der Schule kennt man die Gleichung a² + b² = c². Für sie gibt es hübsche Lösungen in ganzen Zahlen, etwa 3² + 4² = 5², also 9 + 16 = 25. Der französische Jurist und Freizeitmathematiker Pierre de Fermat behauptete 1637: Sobald man die Hochzahl 2 durch eine größere Hochzahl ersetzt, ist damit Schluss. Es gibt dann keine drei positiven ganzen Zahlen mehr, die die Gleichung erfüllen. Für dritte, vierte, hundertste Potenzen und alle weiteren findet man also nie ein passendes Zahlentrio.

Ein Satz, der 358 Jahre offen blieb

Fermat notierte seine Behauptung an den Rand eines Buches. Dazu schrieb er, er habe einen Beweis, aber der Rand sei zu schmal dafür. Dieser Beweis wurde nie gefunden. Heute gehen Fachleute davon aus, dass Fermat sich geirrt hat, weil der echte Beweis Methoden braucht, die es damals noch nicht gab.

Danach versuchten Generationen von Mathematikern ihr Glück. Einzelne Hochzahlen wurden abgehakt: Euler schaffte die Dritte, andere die Vierte, Fünfte, Siebte. Das Problem: Es gibt unendlich viele Hochzahlen. Man kann sie nicht einzeln durchgehen. Genau daran liegt der Reiz solcher Aussagen. Sie sind in einem Satz erklärbar, aber nicht in einem Satz beweisbar.

Für die Mathematik war der Wert nicht die Aussage selbst. Niemand braucht im Alltag die Information, dass a³ + b³ = c³ unlösbar ist. Wertvoll waren die Werkzeuge, die man auf der Suche nach dem Beweis erfand. Ganze Teilgebiete der Zahlentheorie entstanden als Nebenprodukt dieser Jagd.

Der Umweg über elliptische Kurven

Der Beweis kam 1994 vom britischen Mathematiker Andrew Wiles, unterstützt von seinem früheren Studenten Richard Taylor. Wiles griff das Problem nicht direkt an. Er bewies stattdessen eine ganz andere Aussage, aus der Fermats Satz automatisch folgt.

Der Trick geht so: Zuvor hatte man gezeigt, dass eine Lösung von Fermats Gleichung zwangsläufig ein sehr merkwürdiges mathematisches Objekt erzeugen würde. Solche Objekte heißen elliptische Kurven. Man kann sie sich als Kurven vorstellen, deren Punkte man nach festen Regeln miteinander verrechnen kann. Die aus einer Fermat-Lösung entstehende Kurve hätte Eigenschaften, die kein reguläres Objekt dieser Art haben darf.

Wiles bewies nun, dass alle elliptischen Kurven einer bestimmten Sorte brav sind, also keine solchen Ausreißer existieren. Damit kann es auch keine Fermat-Lösung geben, denn sonst gäbe es den Ausreißer. Das ist ein Widerspruchsbeweis: Man nimmt an, es gäbe eine Lösung, und zeigt, dass daraus etwas Unmögliches folgt. Der Beweis füllt über 100 Seiten. Ein erster Versuch von 1993 enthielt eine Lücke, die Wiles über ein Jahr lang schloss.

Vom Randnotiz-Rätsel zum Testfall für KI

Der Satz ist heute ein Standardbeispiel dafür, wie schwierig mathematische Beweise sein können. Er taucht in Dokumentationen, Romanen und Serien auf, etwa in einer Folge von Star Trek. Wer den Namen in News liest, findet ihn oft in Diskussionen über die Grenzen von Rechenleistung, denn kein Computer könnte das Problem durch Ausprobieren lösen.

In der KI-Welt ist der Satz aus zwei Gründen präsent. Erstens dient er als Messlatte: Wenn ein Sprachmodell behauptet, es habe einen kurzen Beweis gefunden, ist das ein sicheres Zeichen für eine erfundene Antwort. Solche Falscherfindungen nennt man Halluzinationen. Zweitens arbeiten Forschungsgruppen daran, große Beweise in Software zu übertragen, die jeden Schritt maschinell nachprüft. Für Wiles' Beweis läuft ein solches Projekt seit Jahren.

Wichtig ist die Abgrenzung zu offenen Problemen. Fermats letzter Satz ist erledigt, er gilt als bewiesen. Andere berühmte Fragen wie die Riemannsche Vermutung sind es nicht. Wenn eine Meldung suggeriert, eine KI habe Fermats Satz gelöst, ist sie also schon im Ansatz falsch.